Tentukan matriks P yang mendiagonalisasi matriks A berikut! A = ( 1 0 0 2 2 0 4 -9 7 )

by -16 views

Terdapat
matriks:
A
=
\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\4&-9&7\end{array}\right]. Terdapat juga matriks yang dapat
mendiagonalisasi
matriks
A, sebut cuma matriks
P. Matriks tersebut adalah
P
=
\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&\frac{5}{9}&0\\-\frac{11}{3}&1&1\end{array}\right]. Matriks ini diperoleh dengan konsep
nilai dan vektor eigen.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui:

A
=
\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\4&-9&7\end{array}\right]

Ditanya:
P
yang mendiagonalisasi matriks
A

Jawab:

  • Kemiripan karakteristik

|AI| = 0

\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&0\\2&2-\lambda&0\\4&-9&7-\lambda\end{array}\right|=0

(1-λ)[(2-λ)(7-λ)-0·(-9)]-0[2(7-λ)-0·4]+0[2(-9)-(2-λ)4] = 0

(1-λ)[(2-λ)(7-λ)-0]-0+0 = 0

(1-λ)(2-λ)(7-λ) = 0

  • Nilai eigen

Solusi persamaan karakteristik di atas menjadi biji eigen matriks A. Skor-nilai tersebut yakni 1, 2, dan 7.

  • Basis pangsa eigen buat nilai eigen 1

Matriks koefisien dari (AI)x
=
0
adalah:

\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\2&1&0\\4&-9&6\end{array}\right]

Berpunca matriks di atas, diperoleh:

2x₁+x₂ = 0 → x₂ = -2x₁

4x₁-9x₂+6x₃ = 0 → 4x₁-9(-2x₁) = -6x₃ → 4x₁+18x₁ = -6x₃ → 22x₁ = -6x₃ → x₃ = -¹¹⁄₃x₁

sehingga:

\bf{x}=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x_1\\-2x_1\\-\frac{11}{3}x_1\end{array}\right]=\textit{x}_\text{1}\left[\begin{array}{c}1\\-2\\-\frac{11}{3}\end{array}\right]

Oleh karena itu, basis ruang eigen kerjakan nilai eigen 1 adalah:

\left[\begin{array}{c}1\\-2\\-\frac{11}{3}\end{array}\right]

  • Basis ira eigen bakal nilai eigen 2

Matriks koefisien semenjak (A-2I)x
=
0
yakni:

\left[\begin{array}{ccc}-1&0&0\\2&0&0\\4&-9&5\end{array}\right]

Dari matriks di atas, diperoleh:

-x₁ = 0 → x₁ = 0

2x₁ = 0 → x₁ = 0

4x₁-9x₂+5x₃ = 0 → 4·0-9x₂ = -5x₃ → -9x₂ = -5x₃ → x₂ = ⁵⁄₉x₃

sehingga:

\bf{x}=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\\frac{5}{9}x_3\\x_3\end{array}\right]=\textit{x}_\text{3}\left[\begin{array}{c}0\\\frac{5}{9}\\1\end{array}\right]

Makanya karena itu, basis ruang eigen lakukan nilai eigen 2 adalah:

\left[\begin{array}{c}0\\\frac{5}{9}\\1\end{array}\right]

  • Basis ruang eigen cak bagi biji eigen 7

Matriks koefisien dari (A-7I)x
=
0
adalah:

\left[\begin{array}{ccc}-6&0&0\\2&-5&0\\4&-9&0\end{array}\right]

Dari matriks di atas, diperoleh:

-6x₁ = 0 → x₁ = 0

2x₁-5x₂ = 0 → 2·0-5x₂ = 0 → -5x₂ = 0 → x₂ = 0

4x₁-9x₂ = 0 (biji ini akan sama saja dengan sebelumnya)

sehingga:

\bf{x}=\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\x_3\end{array}\right]=\textit{x}_\text{3}\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]

Oleh karena itu, basis ruang eigen lakukan nilai eigen 7 adalah:

\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]

  • Matriks P yang mendiagonalisasi matriks A

Karena ada tiga biji kemaluan vektor basis (sesuai dengan ordo matriks A), maka matriks A boleh didiagonalkan. Vektor-vektor tersebut menjadi kolom-kolom matriks P, sehingga:

P
=
\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&\frac{5}{9}&0\\-\frac{11}{3}&1&1\end{array}\right]

Pelajari kian lanjur

Materi akan halnya Menentukan Biji Eigen dan Vektor Eigen dari Suatu Matriks brainly.co.id/tugas/23313409

#BelajarBersamaBrainly

#SPJ1