10. diketahui kubus abcd.efgh dengan panjang rusuk 6 cm. jarak hf dengan bg adalah

by -17 views

Diketahui
kardus ABCD.EFGH
dengan panjang rusuk
6 cm.

Jarak HF dengan BG yakni


2√3 cm
.

Pembahasan

Garis
HF
dan
BG
adalah dua garis bersilangan. Maka itu karena itu, jarak
HF
ke
BG
merupakan jarak dari dua bidang sejajar
P_1
dan
P_2, di mana
HF
terletak plong
P_1, dan
BG
terdapat pada
P_2.

Internal kardus
ABCD.EFGH, bidang
P_1
diwakili oleh
\triangle AFH. Sedangkan rataan
P_2
diwakili maka itu
\triangle BDG.

Jarak kedua bidang ini (seperti tampak sreg gambar yang disertakan) yakni strata ruas garis
TU, atau
PQ, alias
RS, yang bernilai
1/3 kali panjang diagonal ulas
kubus
ABCD.EFGH, yaitu
2√3 cm.

__________________

Maupun, dengan kecam segitiga sama siku-siku
APU, boleh diperoleh:

\begin{aligned}\left|TU\right|&=\frac{\left|AU\right|\times\left|UP\right|}{\left|AP\right|}\\&=\frac{\frac{1}{2}\left|AC\right|\times r}{\sqrt{r^2+\frac{1}{4}{\left|AC\right|}^2}}\\&=\frac{\frac{1}{2}r\sqrt{2}\times r}{\sqrt{r^2+\frac{1}{2}r^2}}\\&=\frac{\frac{1}{2}r^2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}r}\\&=\frac{1}{2}r\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\&=\frac{1}{3}r\sqrt{3}\\&=\frac{1}{3}\cdot6\sqrt{3}\end{aligned}

\large\text{$\begin{aligned}&\therefore\ \left|TU\right|=\boxed{\,\bf2\sqrt{3}\ cm\,}\end{aligned}$}

__________________

Alias, kita bagi dengan prinsip
vektor.

Anggap 1 runcitruncit pada sistem koordinat sama dengan 1 cm, dan titik
A
terletak sreg pusat sistem koordinat.

Maka,
B(6,0,0),G(6,6,6),
H(0,6,6), dan
F(6,0,6).

\begin{aligned}\overrightarrow{BG}&=\vec{g}-\vec{b}=(0,6,6)\\\overrightarrow{HF}&=\vec{f}-\vec{h}=(6,-6,0)\\\end{aligned}

Misalkan
\vec{u}
yakni vektor sah kedua garis. Maka:

\begin{aligned}\vec{u}&=\overrightarrow{BG}\times\overrightarrow{HF}\\&=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0&6&6 \\ 6&-6&0 \end{vmatrix}\\&=36\vec{j}-36\vec{k}+36\vec{i}\\\vec{u}&=36\vec{i}+36\vec{j}-36\vec{k}\\\left|\vec{u}\right|&=\sqrt{36^2+36^2+(-36^2)}\\\left|\vec{u}\right|&=36\sqrt{3}\rm\ satuan\end{aligned}

Salah suatu vektor yang menyambat
HF
dan
BG
adalah
\overrightarrow{GH}=\vec{h}-\vec{g}=(-6,0,0).

Jarak
HF
ke
BG
yakni
panjang proyeksi
\overrightarrow{GH}
ke vektor normal
\vec{u}, yaitu:

\begin{aligned}\sf Jarak&=\left|\frac{\overrightarrow{GH}\cdot\vec{u}}{\left|\vec{u}\right|}\right|\\&=\left|\frac{(-6,0,0)\cdot(36,36,-36)}{36\sqrt{3}}\right|\\&=\left|\frac{-6\cdot36+0+0}{36\sqrt{3}}\right|\\&=\left|\frac{-6\cdot36}{36\sqrt{3}}\right|\\&=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\&=\bf2\sqrt{3}\ satuan\end{aligned}

\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \sf Jarak&=\boxed{\,\bf2\sqrt{3}\ cm\,}\\\end{aligned}$}

__________________

Deduksi

∴  Dengan demikian, jarak HF dengan BG adalah
2√3 cm.

\blacksquare